En mathématiques, certains raisonnements, pourtant parfaitement logiques en apparence, mènent à des conclusions surprenantes, parfois absurdes. Ces situations, appelées paradoxes, mettent en lumière les limites de notre intuition et des outils mathématiques. Le paradoxe des deux enveloppes en est un exemple célèbre. On vous propose deux enveloppes contenant de l’argent : l’une renferme une somme X, l’autre exactement le double 2X. Vous choisissez une enveloppe, découvrez le montant, et devez décider si vous devez changer d’enveloppe pour espérer gagner plus. À première vue, le calcul de l’espérance semble montrer qu’il est toujours avantageux de changer, quelle que soit la somme observée. Mais ce raisonnement conduit à une contradiction : si c’était vrai, il faudrait changer en permanence, ce qui semble absurde. Pour comprendre ce paradoxe, il faut rappeler le rôle de l’espérance en probabilités. L’espérance mathématique mesure la valeur moyenne attendue d’une expérience aléatoire. Cependant, son utilisation peut être trompeuse si les hypothèses sont mal posées. Nous verrons d’abord comment le paradoxe des deux enveloppes semble logique au premier abord (I), puis pourquoi ce raisonnement est trompeur et comment comprendre l’espérance conditionnelle (II). Enfin, nous montrerons que dans la réalité, le paradoxe disparaît si l’on considère un jeu avec un montant maximum (III).

Imaginons un jeu de hasard très simple : on lance une pièce jusqu’à obtenir « pile » pour la première fois, et plus ce résultat arrive tard, plus le gain est élevé. Ce jeu, inventé au XVIIIᵉ siècle par les frères Bernoulli, semble anodin… jusqu’à ce qu’on en fasse le calcul. En effet, ce calcul montre que l’espérance de gain est infinie ! Autrement dit, un joueur « rationnel » devrait accepter de payer n’importe quel prix pour jouer — ce qui, évidemment, n’a aucun sens. Ce paradoxe, connu sous le nom de paradoxe de Saint-Pétersbourg, met en évidence les limites de l’espérance mathématique lorsqu’elle est appliquée au comportement humain. Comment un raisonnement mathématique rigoureux peut-il conduire à une conclusion aussi absurde ? Nous verrons d’abord comment le paradoxe naît d’un calcul parfaitement logique (I), avant de comprendre pourquoi ce raisonnement échoue face à la réalité (II), puis comment Daniel Bernoulli a proposé une solution en introduisant la notion d’utilité (III).

On a tous déjà entendu quelqu’un s’exclamer : « Quelle coïncidence ! Deux personnes dans la même classe ont le même anniversaire ! » À première vue, cela semble extrêmement improbable : après tout, il y a 365 jours dans une année, et avoir deux personnes qui partagent exactement la même date paraît peu probable. Le paradoxe des anniversaires désigne le phénomène statistique selon lequel, dans un groupe de personnes relativement restreint, il est beaucoup plus probable que deux individus partagent le même anniversaire qu’on ne le pense intuitivement. Comment se fait-il que notre intuition nous fasse croire à l’impossibilité de cette coïncidence, alors que les calculs mathématiques montrent qu’elle survient très fréquemment ? Pour répondre à cette question, nous présenterons d’abord le paradoxe et sa modélisation mathématique (I), puis nous montrerons comment les outils mathématiques permettent de le comprendre et de l’approximer (II), et enfin nous analyserons son interprétation, ses applications concrètes et les leçons qu’il nous enseigne sur la pensée probabiliste (III).